O que é Vértice de uma Parábola?

A parábola é uma das curvas mais conhecidas e estudadas na matemática. Ela é definida como o conjunto de todos os pontos equidistantes de um ponto fixo, chamado de foco, e de uma reta fixa, chamada de diretriz. A parábola possui diversas propriedades interessantes, e uma delas é o vértice.

Definição de Vértice

O vértice de uma parábola é o ponto de máximo ou mínimo da curva. Ele está localizado no eixo de simetria da parábola, que é uma reta vertical que divide a curva em duas partes iguais. O vértice é representado pelo par ordenado (h, k), onde h é a coordenada x do vértice e k é a coordenada y do vértice.

Como Encontrar o Vértice

Existem diferentes métodos para encontrar o vértice de uma parábola, dependendo da forma em que ela está representada. Vamos abordar dois métodos comuns: o método do completamento de quadrados e o uso da fórmula do vértice.

Método do Completamento de Quadrados

O método do completamento de quadrados é uma técnica que permite reescrever a equação da parábola na forma canônica, que facilita a identificação do vértice. Para utilizar esse método, siga os seguintes passos:

1. Verifique se a equação da parábola está na forma geral, que é da forma ax² + bx + c = 0. Caso não esteja, reescreva-a nessa forma.

2. Complete o quadrado do termo que contém x, adicionando e subtraindo o termo (b/2a)².

3. Agrupe os termos que contêm x e os termos constantes.

4. Reescreva a equação na forma canônica, que é da forma a(x – h)² + k = 0, onde (h, k) é o vértice da parábola.

Exemplo de Utilização do Método do Completamento de Quadrados

Vamos utilizar o método do completamento de quadrados para encontrar o vértice da parábola representada pela equação y = x² + 4x + 3.

1. A equação já está na forma geral.

2. Completando o quadrado do termo que contém x, temos: y = (x² + 4x + 4) – 4 + 3.

3. Agrupando os termos, temos: y = (x + 2)² – 1.

4. A equação está na forma canônica, e o vértice é (-2, -1).

Uso da Fórmula do Vértice

Outro método para encontrar o vértice de uma parábola é utilizando a fórmula do vértice. Essa fórmula é obtida a partir da forma geral da equação da parábola, e permite encontrar diretamente as coordenadas do vértice.

A fórmula do vértice é dada por:

h = -b/2a

k = f(h)

Onde h é a coordenada x do vértice, k é a coordenada y do vértice, a é o coeficiente do termo quadrático e b é o coeficiente do termo linear.

Exemplo de Utilização da Fórmula do Vértice

Vamos utilizar a fórmula do vértice para encontrar o vértice da parábola representada pela equação y = 2x² + 4x + 1.

1. Identificando os coeficientes, temos a = 2 e b = 4.

2. Calculando h utilizando a fórmula do vértice, temos: h = -4/(2*2) = -1.

3. Substituindo o valor de h na equação da parábola, temos: k = 2*(-1)² + 4*(-1) + 1 = -1.

4. O vértice é (-1, -1).

Conclusão

O vértice de uma parábola é um ponto de extrema importância na curva. Ele representa o ponto de máximo ou mínimo, e está localizado no eixo de simetria da parábola. Existem diferentes métodos para encontrar o vértice, como o método do completamento de quadrados e a fórmula do vértice. Essas técnicas permitem determinar as coordenadas do vértice de forma precisa e eficiente.